Question

已知函数f(x)＝alnx＋bx 2 图象上点P(1，f(1))处的切线方程为2x－y－3＝0．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2

已知函数f(x)＝alnx＋bx 2 图象上点P(1，f(1))处的切线方程为2x－y－3＝0．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)函数g(x)＝f(x)＋m－ln4，若方程g(x)＝0在[ ，2]上恰有两解，求实数m的取值范围．

Answer 1

(1)  f(x)＝4lnx－x 2 ；(2)  2<m≤4－2ln2．

试题分析：(1)由切线方程知图像过 ，求导后，由题可得 ，分别代函数与导函数表达式，解 可得；(2)由(1)得g(x)＝4lnx－x 2 ＋m－ln4，即方程m＝x 2 －4lnx＋ln4，在 上恰有两解，令 h(x)＝x 2 －4lnx＋ln4，由导函数得在 上递减，在( ，2)上递增，可得2< h(x)≤4－2ln2，即2<m≤4－2ln2． 解：(1)∵点P(1，f(1))在切线2x－y－3＝0上， ∴2－f(1)－3＝0， ∴f(1)＝－1，故b＝－1，   2分 又 ，∴f ′(1)＝a＋2b＝2，∴a＝4， ∴f(x)＝4lnx－x 2 ．  4分 (2)g(x)＝4lnx－x 2 ＋m－ln4 由g(x)＝0得：m＝x 2 －4lnx＋ln4，此方程在 上恰有两解，  6分 记h(x)＝x 2 －4lnx＋ln4，则 ,  8分 由h′(x)＝0得：x＝ ∈ ， 在  上，h′(x)<0，h(x)单调递减， 在( ，2)上，h′(x)>0，h(x)单调递增，  10分 又h( )＝ ＋4＋2ln2，h( )＝2－4ln ＋2ln2＝2， h(2)＝4－4ln2＋2ln2＝4－2ln2， ∵h( )≥h(2)，∴2<m≤4－2ln2．   13分