如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两顶点A，C坐标分别为（8，0）（0，4），将矩形沿对角线OB按图中方式
如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两顶点A，C坐标分别为（8，0）（0，4），将矩形沿对角线OB按图中方式折叠，此时A点落在A′处，且OA′与BC边交于点D．（1）求...
如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两顶点A，C坐标分别为（8，0）（0，4），将矩形沿对角线OB按图中方式折叠，此时A点落在A′处，且OA′与BC边交于点D．（1）求过点O，D，A的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线对称轴上有一动点P，当点P运动到什么位置时，△PAA′的周长最小？（请用P点的坐标表示P点的位置，写出过程）（3）在（1）中的抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得以A、D、Q三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）根据折叠的性质知：∠DA′B=∠OAB=90°，A′B=AB=4；
∵OC=A′B，∠DA′B=∠DCO=90°，∠ODC=∠BDA′，
∴△OCD≌△BA′D，
∴CD=A′D；
设CD=A′D=x，则BD=8-x；
Rt△A′BD中，由勾股定理得：x2+42=（8-x）2，
解得x=3；
故D（3，4）；
设抛物线的解析式为：y=ax（x-8）2，
则有：3a（3-8）=4，
a=-
；
∴y=-
x（x-8）2=-
x2+
x．
（2）过A′作x轴的垂线，交BC于M，交OA于N；
在Rt△A′BD中，A′M⊥BD，则：
A′M=A′D?A′B÷BD=
，
DM=A′D2÷BD=
；
故CM=
，A′N=
，A′（
，
）；
△A′AP中，AA′的长为定值，若周长最小，那么PA+PA′最小；
由于O、A关于抛物线的对称轴对称，则点P必为直线OA′与抛物线对称轴的交点；
易求得直线OA′：y=
x，
抛物线对称轴：x=4；
当x=4时，y=
，即P（4，
）．
（3）假设存在符合条件的Q点，则有：
①D为△ADQ的直角顶点；
易求得直线AD的斜率：k=
=-
，
所以设直线DQ：y=
x+h，
则有：
×3+h=4，
解得h=
，
即y=
x+
，
当x=4时，y=
；
故Q（4，
）；
②A为△ADQ的直角顶点，同①可求得Q（4，-5）；
③Q为△ADQ的直角顶点，设Q（4，m），
则有：
×
=-1，
即m2-4m-4=0；
解得m=2±2
∵OC=A′B，∠DA′B=∠DCO=90°，∠ODC=∠BDA′，
∴△OCD≌△BA′D，
∴CD=A′D；
设CD=A′D=x，则BD=8-x；
Rt△A′BD中，由勾股定理得：x2+42=（8-x）2，
解得x=3；
故D（3，4）；
设抛物线的解析式为：y=ax（x-8）2，
则有：3a（3-8）=4，
a=-
| 4 |
| 15 |
∴y=-
| 4 |
| 15 |
| 4 |
| 15 |
| 32 |
| 15 |
（2）过A′作x轴的垂线，交BC于M，交OA于N；
在Rt△A′BD中，A′M⊥BD，则：
A′M=A′D?A′B÷BD=
| 12 |
| 5 |
DM=A′D2÷BD=
| 9 |
| 5 |
故CM=
| 24 |
| 5 |
| 32 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 32 |
| 5 |
△A′AP中，AA′的长为定值，若周长最小，那么PA+PA′最小；
由于O、A关于抛物线的对称轴对称，则点P必为直线OA′与抛物线对称轴的交点；
易求得直线OA′：y=
| 4 |
| 3 |
抛物线对称轴：x=4；
当x=4时，y=
| 16 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
（3）假设存在符合条件的Q点，则有：
①D为△ADQ的直角顶点；
易求得直线AD的斜率：k=
| 0?4 |
| 8?3 |
| 4 |
| 5 |
所以设直线DQ：y=
| 5 |
| 4 |
则有：
| 5 |
| 4 |
解得h=
| 1 |
| 4 |
即y=
| 5 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
当x=4时，y=
| 21 |
| 4 |
故Q（4，
| 21 |
| 4 |
②A为△ADQ的直角顶点，同①可求得Q（4，-5）；
③Q为△ADQ的直角顶点，设Q（4，m），
则有：
| m?4 |
| 4?3 |
| m |
| 4?8 |
即m2-4m-4=0；
解得m=2±2
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