(2012?广州模拟)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC2=PE?PO.(1)求证
(2012?广州模拟)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC2=PE?PO.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若OE=12AE=1...
(2012?广州模拟)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC2=PE?PO.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若OE=12AE=1,求证∠PCA=∠B,并求sin∠PCA的值.
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(1)证明:连接OC,
∵PC2=PE?PO,
∴
=
,
∵∠P=∠P,
∴△PCO∽△PEC,
∴∠PCO=∠PEC,
∵CD⊥AB,
∴∠PEC=90°,
∴∠PCO=90°,且OC为半径,
∴PC是⊙O的切线.
(2)解:∵PC是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,
∴∠BCA=∠PCO=90°,
∴∠BCO=∠PCA,
又∵OB=OC,
∴∠BCO=∠B,
∴∠PCA=∠B,
∵OE=
AE=1,
∴OE=1,AE=2,OC=OB=OA=3,BE=4,
∵CD⊥AB,
∴EC=
=
=2
,
∴BC=
=
=2
∵PC2=PE?PO,
∴
PC |
PO |
PE |
PC |
∵∠P=∠P,
∴△PCO∽△PEC,
∴∠PCO=∠PEC,
∵CD⊥AB,
∴∠PEC=90°,
∴∠PCO=90°,且OC为半径,
∴PC是⊙O的切线.
(2)解:∵PC是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,
∴∠BCA=∠PCO=90°,
∴∠BCO=∠PCA,
又∵OB=OC,
∴∠BCO=∠B,
∴∠PCA=∠B,
∵OE=
1 |
2 |
∴OE=1,AE=2,OC=OB=OA=3,BE=4,
∵CD⊥AB,
∴EC=
OC2?OE2 |
32?12 |
2 |
∴BC=
CE2+BE2 |
(2
|
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