(2012?广州模拟)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC2=PE?PO.(1)求证

(2012?广州模拟)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC2=PE?PO.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若OE=12AE=1... (2012?广州模拟)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC2=PE?PO.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若OE=12AE=1,求证∠PCA=∠B,并求sin∠PCA的值. 展开
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绣凤朝阳上鸳鸯8190
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(1)证明:连接OC,
∵PC2=PE?PO,
PC
PO
PE
PC

∵∠P=∠P,
∴△PCO∽△PEC,
∴∠PCO=∠PEC,
∵CD⊥AB,
∴∠PEC=90°,
∴∠PCO=90°,且OC为半径,
∴PC是⊙O的切线.

(2)解:∵PC是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,
∴∠BCA=∠PCO=90°,
∴∠BCO=∠PCA,
又∵OB=OC,
∴∠BCO=∠B,
∴∠PCA=∠B,
∵OE=
1
2
AE=1,
∴OE=1,AE=2,OC=OB=OA=3,BE=4,
∵CD⊥AB,
∴EC=
OC2?OE2
=
32?12
=2
2

∴BC=
CE2+BE2
=
(2
2
)
2
+42
=2
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