Question

（2013?济南一模）如图，已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，如果点P由C出发沿CA方向向点A匀速运动，同时点

（2013?济南一模）如图，已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，如果点P由C出发沿CA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t．（单位：s）．（0≤t≤4）解答下列问题：（1）求AC的长；（2）当t为何值时，PQ∥BC；（3）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，s=365cm2；（4）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）∵AB=8cm，BC=6cm，
∴AC=

82+62

=10（cm）；

（2）当PQ∥BC时，
∵CP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ∥BC，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，即

10?2t

10

=

2t

8

，
解得：t=

20

9

，
∴当t=

20

9

s时，PQ∥BC．

（3）如图2所示，过P点作PD′⊥AC于点D．
∴PD′∥BC，
∴

AP

AC

=

PD′

BC

，
即

10?2t

10

=

PD′

6

，
解得：PD′=6-

6

5

t．
S=

1

2

×AQ×PD′=

1

2

×2t×（6-

6

5

t）
=-

6

5

t²+6t=

36

5

整理得出：
t²-5t+6=0，
（t-2）（t-3）=0，
解得：t₁=2，t₂=3，
故当t为2或3时，s=

36

5

cm²；

（4）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S_△AQP=

1

2

S_△ABC，而S_△ABC=

1

2

AC?BC=24，
∴此时S_△AQP=12．
由（2）可知，S_△AQP=-

6

5

t²+6t，
∴-

6

5

t²+6t=12，化简得：t²-5t+10=0，
∵△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．