Question

设x，y∈R+且xy-（x+y）=1，则x+y的最小值为______

设x，y∈R+且xy-（x+y）=1，则x+y的最小值为______．

Answer 1

∵xy-（x+y）=1，∴xy=（x+y）+1
∵xy≤（

x+y

2

）²，
∴（x+y）+1≤（

x+y

2

）²=

1

4

（x+y）²
整理得（x+y）²-4（x+y）-4≥0，
令t=x+y，得t²-4t-4≥0，解之得t≥2+2

2

（舍负）
∴x+y≥2+2

2

，可得x+y的最小值为2+2

2

故答案为：2+2

2

Answer 2

设u=x+y>0,则xy<=u^2/4,
由xy-(x+y)=1得
u^2/4-u≥1,
变形得u^2-4u-4≥0,u>0,
解得u≥2+2√2，当x=y=1+√2时取等号，
∴u=x+y的最小值为2+2√2.