Question

设函数f（x）=ex（ax2-x-1）（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在R上单调递减，求a的取值范围（Ⅱ）当a＞0时，

设函数f（x）=ex（ax2-x-1）（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在R上单调递减，求a的取值范围（Ⅱ）当a＞0时，求f（|sinx|）的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=e^x（ax²-x-1），
∴f'（x）=e^x（ax²-x-1）+e^x（2ax-1）=e^x[ax²+（2a-1）x-2]，
①a=0时，显然不满足，
②当a≠0时，f'（x）≤0恒成立，
即a＜0且（2a-1）²+4×2×a≤0，所以a＝?

1

2

（Ⅱ）①当

1

a

≥1时，即0＜a≤1，f(|sinx|)min＝f(1)＝e(a?2)，
②当0＜

1

a

＜1时，即a＞1，f(|sinx|)min＝f(

1

a

)＝e

1

a

(

1

a

?

1

a

?1)＝?e

1

a

．