Question

已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）有两个不同的零点x1、x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x0=x1+x22，f′（

已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）有两个不同的零点x1、x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x0=x1+x22，f′（x）为f（x）的导函数，证明f′（x0）＜0；（Ⅲ）证明：x1x2＞e2．

Answer 1

（I）f′(x)＝

1

x

+a（x＞0），当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，此时函数f（x）最多有一个零点，不符合题意，应舍去；
当a＜0时，令f′（x）=0，解得x=-

1

a

．当0＜x＜?

1

a

时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x＞?

1

a

时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减法．
可知-

1

a

是函数f（x）的极大值点即最大值点，且当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞．
又函数f（x）=lnx+ax（a∈R）有两个不同的零点x₁、x₂．∴f（x）_max＞0，即ln(?

1

a

)?1＞0，解得?

1

e

＜a＜0．
∴a的取值范围是(?

1

e

，0)．
（II）不妨设x₁＜x₂．
由（I）可知：0＜x1＜?

1

a

＜x2．
∵x＞?

1

a

时，函数f（x）单调递减，∴只要证明

x1+x2

2

＞?

1

a

即可，变为?

2

a

?x1＞?

1

a

．
设g（x）=ln(?

2

a

?x)+a(?

2

a

?x)?(lnx+ax)，
∴g′(x)＝

1

2 a +x

?2a?

1

x

=

?2(ax+1)2

x(2+ax)

＞0，x∈(0，?

2

a

)，且g(

?1

a

)=0．
∴g(?

2

a

?x1)＞g(?

1

a

)．
∴?

2

a

?x1＞?

1

a

．
（III）由（II）可得：

x1+x2

2

＞?

1

a

．
∵lnx₁+ax₁=0，lnx₂+ax₂=0，
∴lnx₁+lnx₂=-a（x₁+x₂）＞?a×(?

2

a

)=2，
∴x1x2＞e2．