Question

（2011?苍溪县模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=20．动点P从点D出发，

（2011?苍溪县模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=20．动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2个单位长的速度向点A运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）作PE⊥BC于点E，则四边形PDCE是矩形，
∴PE=DC=12，∵CQ=t，∴BQ=16-t，
∴S＝

1

2

(16?t)×12＝?6t+96（0≤t≤10）

（2）①若PB=PQ，∵PE⊥BC，∴BE=QE，∵EC=PD=2t，
∴BE=16-2t，QE=2t-t=t
∴16-2t=t，解得t＝

16

3

②若QB=QP，作QF⊥AD于点F，在Rt△PFQ中，
∵FQ=CD=12，PF=2t-t=t，∴QP²=t²+144，∵QB²=（16-t）²
∴t²+144=（16-t）²，整理得32t=112，解得t＝

7

2

，
③若BQ=BP，在Rt△PBE中，∵PE=CD=12，BE=16-2t
∴PB²=（16-2t）²+144
∴（16-2t）²+144=（16-t）²，整理得3t²-32t+144=0，
∵△=32²-12×144=-704＜0，
∴该方程没有实数根，故BQ≠BP，
∴t＝

16

3

或t＝

7

2

时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形

（3）假设存在某一时刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于点M
∵AD∥BC，∠C=90°，∴∠ADC=90°，∴∠1+∠2=90°，
∵PQ⊥BD，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，
∴Rt△PMQ∽Rt△DCB，
∴

PM

DC

＝

QM

BC

，∴

2t?t

12

＝

12

16

，
解得t=9，
∴当t=9时，PQ⊥BD．

Answer 2

解答：解：（1）作PE⊥BC于点E，则四边形PDCE是矩形，
∴PE=DC=12，∵CQ=t，∴e5a48de588b67a686964616f31333335343936BQ=16-t，
∴S＝
1
2
(16?t)×12＝?6t+96（0≤t≤10）

（2）①若PB=PQ，∵PE⊥BC，∴BE=QE，∵EC=PD=2t，
∴BE=16-2t，QE=2t-t=t
∴16-2t=t，解得t＝
16
3

②若QB=QP，作QF⊥AD于点F，在Rt△PFQ中，
∵FQ=CD=12，PF=2t-t=t，∴QP2=t2+144，∵QB2=（16-t）2
∴t2+144=（16-t）2，整理得32t=112，解得t＝
7
2
，
③若BQ=BP，在Rt△PBE中，∵PE=CD=12，BE=16-2t
∴PB2=（16-2t）2+144
∴（16-2t）2+144=（16-t）2，整理得3t2-32t+144=0，
∵△=322-12×144=-704＜0，
∴该方程没有实数根，故BQ≠BP，
∴t＝
16
3
或t＝
7
2
时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形

（3）假设存在某一时刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于点M
∵AD∥BC，∠C=90°，∴∠ADC=90°，∴∠1+∠2=90°，
∵PQ⊥BD，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，
∴Rt△PMQ∽Rt△DCB，
∴
PM
DC
＝
QM
BC
，∴
2t?t
12
＝
12
16
，
解得t=9，
∴当t=9时，PQ⊥BD