齐次线性方程组基础解系一定是线性无关吗
齐次线性方程组基础解系是方程组解向量空间的极大无关组，当然是线性无关的
有可疑之处就是当方程只有零解时，即解空间只有一个向量----零向量时，此时没有极大无关组，可认为不存在基础解系
总的来说，只要有基础解系，那么它就是线性无关的。
η1,η2.ηk 是基础解系.所以η1,η2.ηk线性无关.
（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）=（η0,η1,η2.ηk ）
所以证明（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）无关也就是证明（η0,η1,η2.ηk ）无关,
我们知道,如果a1,a2.an无关,而a1,a2.an,β相关,则β可以由a1,a2.an表示,且表示法唯一.
反证法：设（η0,η1,η2.ηk ）相关,又因为η1,η2.ηk线性无关.则η0可以由
η1,η2.ηk线性表示,且表示法唯一.
显然,其次方程组Ax=0的基础解系,不一定能表示非其次方程组Ax=b的特解.所以矛盾.
（假设非其次方程组一个特解为b,其次方程组通解为k1a1+k2a2,则非其次方程组的通解为
k1a1+k2a2+b,如果b可以被a1,a2表示,则通解可以化为k1a1+k2a2+k3a1+k4a1=(k1+k3)a1+(k2+k4)a2,这其实是其次方程组Ax=0的解,而不是非其次方程组Ax=b的解）
则（η0,η1,η2.ηk ）无关,则（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）无关.
扩展资料
性质
1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。
齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）
齐次线性方程组系数矩阵的行向量组是否线性无关要通过向量组的秩来判断。要看这个矩阵是否满秩。
基础解系组成的向量组一定是线性无关的，因为基础解系中的向量是解空间的基，换句话说，基础解系的向量组中的向量通过线性组合的得到的向量依然是方程组的解，基础解系的真实含义就是，用一组线性无关的向量来表达所有符合条件的解。
齐次线性方程组基础解系的例题
要证明By＝0只有零解，只要证明B的列向量组线性无关，也就是向量组β，β+α1，β+α2，...，β+αs线性无关。
证明：设x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)＝0，整理下是
(x0+x1+x2+...+xs)β+(x1α1+x2α2+...+xsαs)＝0。 （1）
若x0+x1+x2+...+xs≠0，则β＝-(x1α1+x2α2+...+xsαs)/(x0+x1+...+xs)，是Ax=0的解，即Aβ=0，与已知矛盾。
所以x0+x1+x2+...+xs＝0。 （2）
此时，（1）式变成x1α1+x2α2+...+xsαs＝0。
因为α1，α2，...，αs是Ax=0的基础解系，是线性无关的，所以x1=x2=...=xs=0。
代入（2），x0=0。
所以由x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)＝0得出x0=x1=x2=...=xs=0。
所以方程组By=0只有零解。
齐次线性方程组基础解系是方程组解向量空间的极大无关组，当然是线性无关的
有可疑之处就是当方程只有零解时，即解空间只有一个向量----零向量时，此时没有极大无关组，可认为不存在基础解系
总的来说，只要有基础解系，那么它就是线性无关的。
（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）=（η0,η1,η2.ηk ）
所以证明（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）无关也就是证明（η0,η1,η2.ηk ）无关,
我们知道,如果a1,a2.an无关,而a1,a2.an,β相关,则β可以由a1,a2.an表示,且表示法唯一.
反证法：设（η0,η1,η2.ηk ）相关,又因为η1,η2.ηk线性无关.则η0可以由
η1,η2.ηk线性表示,且表示法唯一.
显然,其次方程组Ax=0的基础解系,不一定能表示非其次方程组Ax=b的特解.所以矛盾.
（假设非其次方程组一个特解为b,其次方程组通解为k1a1+k2a2,则非其次方程组的通解为
k1a1+k2a2+b,如果b可以被a1,a2表示,则通解可以化为k1a1+k2a2+k3a1+k4a1=(k1+k3)a1+(k2+k4)a2,这其实是其次方程组Ax=0的解,而不是非其次方程组Ax=b的解）
则（η0,η1,η2.ηk ）无关,则（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）无关.
|
广告 您可能关注的内容 |
