Question

在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G

在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF． （2）解：连接GC、BG， ∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°， ∵∠DCB=90°，DF∥AB， ∴∠DFA=45°，∠ECF=90° ∴△ECF为等腰直角三角形， ∵G为EF中点， ∴EG=CG=FG，CG⊥EF， ∴△ABE为等腰直角三角形，AB=DC， ∵BE=DC， ∴∠CEF=∠GCF=45°， ∴∠BEG=∠DCG=135° ∴△BEG≌△DCG， ∴BG=DG， ∵CG⊥EF， ∴∠DGC+∠DGA=90°， 又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°， ∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°， （3）解：延长AB、FG交于H，连接HD． ∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形 ∴∠ABC=120°，AF平分∠BAD ∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30° ∴△DAF为等腰三角形 ∴AD=DF ∴平行四边形AHFD为菱形 ∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形 ∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60° ∵FG=CE，CE=CF，CF=BH ∴BH=GF ∴△BHD≌△GFD， ∴∠BDH=∠GDF ∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°