Question

如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下

如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB②EF⊥PB③AF⊥BC④AE⊥BC，正确命题的个数为（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵PA⊥⊙O所在平面，
∴PA⊥⊙O所在平面内的所有直线，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，
∵F是点A在PC上的射影，
∴AF⊥PC，
∵AF∩PC=F，
∴PC⊥面PAC，
∴AF⊥BC，
又AF⊥PC，
∴AF⊥面PBC，
∴AF⊥PB，∴①正确；
∵AF⊥面PBC，
BC?面PBC，
∴AF⊥BC∴③正确．
∵AF⊥PB，AE⊥PB，AF∩AE=A，
∴PB⊥面AEF，
∴EF⊥PB，
∴②正确．
∵AF⊥面PBC，
∴若AE⊥BC，
则AE⊥面PBC，
此时E，F重合，与已知矛盾．∴④错误；
故命题①②③正确，
故选：C