Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若ACAB＝25，求AFDF的值．

Answer 1

（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC（2分）
∴OD∥AE又AE⊥DE（3分）
∴DE⊥OD，又OD为半径
∴DE是的⊙O切线（5分）

（II）解：过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB
cos∠DOH＝cos∠CAB＝

AC

AB

＝

2

5

（6分）
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x（7分）
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x（8分）
又由△AEF∽△DOF可得AF：DF＝AE：OD＝

7

5

∴

AF

DF

＝

7

5