Question

如图，在直角梯形ABCD中，以B点为原点建立直角坐标系，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=

如图，在直角梯形ABCD中，以B点为原点建立直角坐标系，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，AB=10，求直线AC的解析式；（3）在（2）中的条件下，在直线AC上是否存在P点，使得△PAD的面积等于△ABE的面积？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，
∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，
∴∠D=∠AEC=90°，
在△ADC和△AEC中

∠ADC＝∠AEC ∠ACD＝∠ACE AC＝AC

，
∴△ADC≌△AEC （AAS），
∴AD=AE；

（2）∵AD=8，DC=4，AB=10，
∴可得点C的坐标为（-6，8），A（-10，0），
设直线AC的解析式为y=ax+b，则

?6a+b＝8 ?10a+b＝0

，
解得：

a＝2 b＝20

∴直线AC的解析式为：y=2x+20；

（3）存在，
理由：延长AD，在直线AC上取一点P，连接PD，过点P作△ADP的高h，
∵AD=AE=8，AB=10，
∴BE=6，
∴S_△ABE=

1

2

×6×8=24，
设△PAD的边AD上的高为h，
则由S_△PAD=S_△ABE得

1

2

×8×h＝24，
解得：h=6，
所以P的横坐标为-4或-16，
代入y=2x+20得：
y=2×（-4）+20=12，或y=2×（-16）+20=-12，
∴P点的纵坐标为12或-12，
所以P的坐标为（-4，12）或（-16，-12）．