Question

已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；

已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（I）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n，
因为x=1是f（x）的一个极值点，
所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6．
（II）由（I）知，
f′(x)＝3mx2?6(m+1)x+3m+6＝3m(x?1)[x?(1+

2

m

)]．
当m＜0时，有1＞1+

2

m

，当x变化时，f（x）与f'（x）的变化如下表：

x	(?∞，1+ 2 m )	1+ 2 m	(1+ 2 m ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由上表知，当m＜0时，f（x）在(?∞，1+

2

m

)单调递减，
在(1+

2

m

，1)单调递增，（1+∞）单调递减．