Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=34，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=34，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为22？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=

3

4

，∴OB=4，
∴B（-4，0），B₁（0，-4），A₂（3，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂，
∴

16a?4b+c＝0 c＝?4 9a+3b+c＝0

，
解得

a＝ 1 3 b＝ 1 3 c＝?4

∴抛物线的解析式为：y=

1

3

x²+

1

3

x-4．

（2）点P是第三象限内抛物线y=

1

3

x²+

1

3

x-4上的一点，
如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=

1

3

m²+

1

3

m-4．
于是PC=|n|=-n=-

1

3

m²-

1

3

m+4，OC=|m|=-m，BC=OB-OC=|-4|-|m|=4+m．
S_△PBB1=S_△PBC+S_梯形PB1OC-S_△OBB1
=

1

2

×BC×PC+

1

2

×（PC+OB₁）×OC-

1

2

×OB×OB₁
=