Question

概率论问题求解！！

一个口袋中有N个白球，M个黑球，且N > M，从口袋中将球一个一个取出（不放回）。求取出过程中白球累计个数始终大于黑球累计个数的概率。（财富不足，还请原谅）

Answer 1

取随机变量X为取出球数目n的函数，X=X(n)，并令X(0)=0
X(n)=X(n-1)+1 若第n次取出一个白球，=X(n-1)-1若第n次取出黑球。
则原题等价于求所有球都取出之前，即对所有的0<=n<=N+M，X(n)>-1的概率。
下面就要求这个概率。
在n-X(n)的坐标系里画X(n)的图像为一条从(0,0)到(N+M,N-M）的随机路径，考虑从N+M次加减1里取N次为加的可能取法，这样的随机路径共有C(N+M，N)（表示从N+M里取M的组合数）。
接下来需要求从(0,0)出发，途中曾经碰到过-1，终于(N+M,N-M）的随机路径条数。这里有个技巧，对每一条这样的路径，从其碰到-1那一刻开始，将其后面的路径关于直线X=-1做一个镜像对称，这样的镜像对称与我们感兴趣的路径一一对应，但其终点变为(N+M,M-N-2)，并且M-N-2<-1，所以此镜像必定穿过直线X=-1。我们只需要简单的计算从(0,0)到(N+M,M-N-2）的随机路径条数即可。
假定这样的随机路径做了W次加一，B次减一，则
W+B=N+M
W-B=M-N-2
求出 W=M-1
对应路径条数 C(N+M,M-1)
则所求概率
P=C(N+M,M-1)/C(N+M，N) = [(N+M)!/((M-1)!*(N+1)!)]/[(N+M)!/(M!*N!)]=M/(N+1)

文字说明可能不太好懂，自己画图想下，能问这种问题数学应该比较强的了。