Question

若函数 f(x)= 1 3 x 3 -x在(a，10- a 2 ) 上有最小值，则a的取值范围为______

若函数 f(x)= 1 3 x 3 -x在(a，10- a 2 ) 上有最小值，则a的取值范围为______．

Answer 1

由已知，f′（x）=x 2 -1，有x 2 -1≥0得x≥1或x≤-1， 因此当x∈[1，+∞），（-∞，-1]时f（x）为增函数，在x∈[-1，1]时f（x）为减函数． 又因为函数 f(x)= 1 3 x 3 -x在(a，10- a 2 ) 上有最小值，所以开区间（a，10-a 2 ）须包含x=1， 所以函数f（x）的最小值即为函数的极小值f（1）=- 2 3 ， 又由f（x）=- 2 3 可得 1 3 x 3 -x=- 2 3 ，于是得（x-1） 2 （x+2）=0 即有f（-2）=- 2 3 ，因此有以下不等式成立： -2≤a＜1 10- a 2 ＞1 ，可解得-2≤a＜1， 答案为：[-2，1）