Question

阅读下面材料：若设关于x的一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a≠0）的两个根为x 1 ，x 2 ，那么由根与系数的关

阅读下面材料：若设关于x的一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a≠0）的两个根为x 1 ，x 2 ，那么由根与系数的关系得：x 1 +x 2 =- b a ，x 1 x 2 = c a ．∵ b a =-( x 1 + x 2 ) c a = x 1 x 2 ，∴ a x 2 +bx+c=a( x 2 + b a x+ c a ) =a[x 2 -（x 1 +x 2 ）x+x 1 x 2 ]=a（x-x 1 ）（x-x 2 ）．于是，二次三项式就可以分解因式ax 2 +bx+c=a（x-x 1 ）（x-x 2 ）．（1）请用上面的方法将多项式4x 2 +8x-1分解因式．（2）判断二次三项式2x 2 -4x+7在实数范围内是否能利用上面的方法因式分解，并说明理由．（3）如果关于x的二次三项式mx 2 -2（m+1）x+（m+1）（1-m）能用上面的方法分解因式，试求出m的取值范围．

Answer 1

（1）令4x 2 +8x-1=0， ∵a=4，b=8，c=-1，b 2 -4ac=64+16=80＞0， ∴x 1 = -2+ 5 2 ，x 2 = -2- 5 2 ， 则4x 2 +8x-1=4（x- -2+ 5 2 ）（x- -2- 5 2 ）； （2）二次三项式2x 2 -4x+7在实数范围内不能利用上面的方法分解因式，理由如下： 令2x 2 -4x+7=0， ∵b 2 -4ac=（-4） 2 -56=-40＜0， ∴此方程无解， 则此二次三项式不能用上面的方法分解因式； （3）令mx 2 -2（m+1）x+（m+1）（1-m）=0， 由此二次三项式能用上面的方法分解因式，即有解， ∴b 2 -4ac=4（m+1） 2 -4m（m+1）（1-m）≥0， 化简得：（m+1）[4（m+1）+4m（m-1）]≥0，即4（m+1）（m 2 +1）≥0， ∵m 2 +1≥1＞0，∴m+1≥0，解得m≥-1，又m≠0， 则m≥-1且m≠0时，此二次三项式能用上面的方法分解因式．