Question

设f(x)＝2x 3 ＋ax 2 ＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－ 对称，且f′(1)＝0.(

设f(x)＝2x 3 ＋ax 2 ＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－ 对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性，并求出单调区间 。

Answer 1

（1）a=3、  b=—12；(2)单调等增区间为（-∞，-2）和（1，+∞），单调递减区间为（-2，1）。

试题分析：(1) 因为f′(x)  的图象关于直线x＝－ 对称，所以 ，所以a=3；又f′(1)＝0，所以b=—12。 (2)由(1)知，知f（x）=2x 3 +3x 2 -12x+1，所以f′（x）=6x 2 +6x-12=6（x-1）（x+2）， 令f′（x）=0，得x=1或x=-2， 当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-2）上是增函数； 当x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-2，1）上是减函数； 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数。 所以f(x)的单调等增区间为（-∞，-2）和（1，+∞），单调递减区间为（-2，1）。 点评：当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′（x）＞0(或f′（x）＜0)直接得到单调递增(或单调递减)区间。但要注意函数的定义域。