Question

已知数列{a n }的前n项和S n 满足：S n =a（S n ﹣a n +1）（a为常数，a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求{a n }的通

已知数列{a n }的前n项和S n 满足：S n =a（S n ﹣a n +1）（a为常数，a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 ，若数列{b n }的前n项和S n 中，S 5 为最大值，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）s 1 =a（s 1 ﹣a 1 +1）， ∴a 1 =a． 当 n≥2时，由 S n =a（S n ﹣a n +1）可得，S n﹣1 =a（S n﹣1 ﹣a n﹣1 +1）． 两式相减得：a n =a a n﹣1 ， 由于a为常数，a＞0且a≠1， ∴ =a， 即数列{a n }是等比数列， ∴a n =a a n﹣1 =a n ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 =|a|+1﹣n， ∴b n+1 =|a|﹣n，b n+1 ﹣b n =﹣1，即数列{b n }为以 a为首项，公差为﹣1的等差数列． 由题意数列{b n }为递减数列且S 5 为最大值， ∴ ， ， 又a＞0，解得4≤a≤5．