Question

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个

Answer 1

解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，
∴NP=EP，
∴AN=PF
在△ANP与△FPE中，
∵

NP＝EP ∠ANP＝∠EPF AN＝PF

，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，（故②正确）；
P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立，（故③⑤错误）；
故正确的是：①②④．
故选：B．