Question

如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B折纸片，使折痕PQ⊥M

如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B折纸片，使折痕PQ⊥MN于B．（1）求证：△BEP∽△ABQ；（2）求证：BE2=AE?PE；（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？请简单说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
又∵∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．

（2）证明：∵△PBE∽△QAB，
∴

BE

AB

＝

PE

BQ

．
∵由折叠可知BQ=PB．
∴

BE

AB

＝

PE

PB

，即

BE

PE

=

AB

PB

．
又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE，
∴

BE

AE

=

PE

BE

，
即BE²=AE?PE；

（3）解：点A能叠在直线EC上．理由如下：
∵△PBE∽△BAE，
∴∠AEB=∠PEB，
则沿EB所在的直线折叠，点A能折叠到直线EC上．