Question

对一切实数x，不等式ax2+（a-6）x+2＞0恒成立，求a的值

对一切实数x，不等式ax2+（a-6）x+2＞0恒成立，求a的值．

Answer 1

此题一般有两种做法：

（1）按恒成立问题的通用方法，将a分离出来，然后转化为最值问题。比如此题可以转化为a(x²+x)>6x-2恒成立，即（其中f(x)=(6x-2)/(x²+x)）
当x>0或x<-1时a>f(x)恒成立（注意x<-1时，f(x)<0，而f(1)>0，因此只需考虑当x>0时a>f(x)恒成立），且当-1<x<0时a<f(x)恒成立（x=0或x=-1时恒成立是显然的）。
注意f'(x)=-2(x-1)(3x+1)/(x²+x)²，因此f在(-∞,-1),(-1,-1/3)上递减，在(-1/3,0),(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，因此当x>0时max f(x)=f(1)=2，因此当x>0时a>f(x)恒成立即等价于a>2。而当-1<x<0时min f(x)=f(-1/3)=18，因此当-1<x<0时a<f(x)恒成立即等价于a<18。
综上，2<a<18。

（2）由于此题的代数式恰好具有二次函数的形状，因此可以利用二次函数的性质来做。
如果a=0，-6x+2>0恒成立，显然不满足题意。因此a≠0。
因此ax²+(a-6)x+2是关于x的二次函数，要想其大于0恒成立，结合二次函数的图像必有：
a>0且Δ<0（与x轴没有交点）
即
a>0且(a-6)²-8a<0。
解得
2<a<18。

Answer 2

由于不等式对一切x恒成立，
故a应该满足

a＞0 △＝(a?6)2?4a?2＜0

即

a＞0 a2?20a+36＜0

所以2＜a＜18

Answer 3

由于不等式对一切x恒成立，
故a应该满足 a＞0△＝(a−6)2−4a•2＜0
即 a＞0a2−20a+36＜0
所以2＜a＜18