Question

如图AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点C，∠BPA的角平分线交AC于点E，交AB于点F，交⊙O于点D，∠B=60°，线段BF

如图AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点C，∠BPA的角平分线交AC于点E，交AB于点F，交⊙O于点D，∠B=60°，线段BF、AF是一元二次方程x2-kx+23=0的两根（k为常数）．（1）求证：PB?AE=PA?BF；（2）求证：⊙O的直径是常数k；（3）求：tan∠DPB．

Answer 1

解答：（1）证明：∵PA切⊙O于点C，
∴∠PAE=∠B，又∠APE=∠BPF，
∴△PAE∽△PBF，
∴

PB

PA

＝

BF

AE

，
即PB?AE=PA?BF．

（2）证明：∵线段BF、AF是一元二次方程x²-kx+2

3

=0的两根（k为常数），
根据根与系数的关系，得BF+AF=k，即AB=k．

（3）解：∵∠AEF=∠APF+∠CAP，∠AFP=∠B+∠BPF，
又∵∠APF=∠BPF，∠B=∠CAP，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
由（2）知△PAE∽△PBF，
∴

AE

BF

=

PA

PB

，
∴

AF

BF

=

PA

PB

=sin60°=

3

2

，
即

AF

BF

=

3

2

①，
AF?BF=2

3

②，
由①，②得，AE=

3

，BF=2，
AP=3+2

3

，
∴tan∠APE=

AF

AP

=2-

3

，
即tan∠DPB=2-

3

．