Question

已知函数fx=cos(2x+φ)其中φ为实数,且φ绝对值<π,若f(x)≤f(π/3)绝对值

对x属于R恒成立，又f（π/2）＜f（2π/3）求fx解析式 将函数y=fx的图像向右平移π/4但未得到g（x）图像，求当x属于【-π/12，5π/12】是gx的值域

Answer 1

（1）
f(x)=cos(2x+φ)
f(x)≤|f(π/3)|对x属于R恒成立.

那么f(π/3)为f(x)的最值，
即cos(2π/3+φ)=±1
∴2π/3+φ=kπ,k∈Z
∴φ=kπ-2π/3,k∈Z
∵|φ|<π
∴φ=-2π/3,或φ=π/3
当φ=-2π/3时，
f(x)=cos(2x-2π/3)
f(π/2)=cosπ/3=1/2
f(2π/3)=cos2π/3=-1/2
不符合f（π/2）＜f（2π/3）

当φ=π/3时，
f(x)=cos(2x+π/3)
f(π/2)=cos5π/6=-√3/2
f(2π/3)=cos5π/3=1/2
符合f（π/2）＜f（2π/3）
∴f(x)=cos(2x+π/3)
（2）
将f(x)图像向右平移π/4单位，得到
g(x)=f(x-π/4)=cos[2(x-π/4)+π/3]=cos(2x-π/6)
∵x属于【-π/12，5π/12】

∴-π/3≤2x-π/6≤2π/3
∴-1/2≤cos(2x-π/6)≤1
g(x)值域为[-1/2,1]