Question

13.如图8，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠BAF=180°.

（1）求证：DE=DF
（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED+∠AFD=180°，那么结论还成立吗？

Answer 1

1. 因为 ∠EDF+∠BAF=180°   ，所以 DF // AB  、∠EAD = ∠ADF

      又因为 AD是∠BAC的平分线    ，所以 ∠EAD = ∠DAF 

      所以，∠ADF = ∠DAF ,  AF = DF

      又因为 DF // AB      ，所以 ∠AED +∠AFD =180° 、∠ABD  =  ∠FDC

      因为  ∠BED +∠AED =180°   ，所以  ∠BED = ∠AFD

      又因为   ∠AFD = ∠FDC + ∠FCD   ，所以  ∠BED = ∠FDC + ∠FCD

因为已经证明 ∠ABD  =  ∠FDC   ，所以  ∠BED = ∠ABD + ∠FCD

      因为  ∠BED +∠AED =180°  , 所以  ∠ABD + ∠FCD +∠AED =180°

      又因为 ∠ABD + ∠FCD +∠BAC=180°  ,所以  ∠BAC=∠AED

      因为  DF // AB ，所以 AF = DE

因为已经证明 AF = DF,  所以  DE = DF .

  2.  成立

      

Answer 2

两个小题的证明方法都是：
过点D作AB和AC的垂线，垂足分别是G和H。思路是通过证明三角形DGE和DHF全等，最终证明DE=DF

已知的条件是<DGE=<DHF=90, DG=DH(角平分线上的点到角两边的距离相等)
第一小题：通过条件∠EDF+∠BAF=180°，得到<GDE=<HDF（自行验证）
第二小题：通过条件∠AED+∠AFD=180°，得到<GED=<HFD（自行验证）
于是角角边可证全等