Question

已知数列{an}的各项均为正数，且前n项之和Sn满足6Sn=an2+3an+2，且a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{an

已知数列{an}的各项均为正数，且前n项之和Sn满足6Sn=an2+3an+2，且a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列bn=2an的前n项和为Tn，求Tn．

Answer 1

解（1）当n=1时，由题意可得6a₁=a12+3a1+2
∴a₁=1或a₁=2
当n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，
两式相减可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0
由题意可得，a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=3
当a₁=1时，a_n=3n-2，此时a42=a₂?a₉成立
当a₁=2时，a_n=3n-1，此时a42=a₂?a₉不成立
故a_n=3n-2，
（2）∵b_n=2^3n-2，是以公比q=8的等比数列，
∴数列的前n项和为Tn＝

2(1?8n)

1?8

=

2

7

(8n?1)