Question

设函数f（t）在[0，+∞）上连续，且满足方程f（t）=e4πt2+?x2+y2≤4t2f(12x2+y2)dxdy，求f（t）

设函数f（t）在[0，+∞）上连续，且满足方程f（t）=e4πt2+?x2+y2≤4t2f(12x2+y2)dxdy，求f（t）．

Answer 1

由题意，显然有 f（0）=1，
利用极坐标变换，可得：

?

x2+y2≤4t2

f(

1

2

x2+y2

)dxdy=

∫

2π 0

dθ

∫

2t 0

f(

1

2

r)rdr=2π

∫

2t 0

rf(

1

2

r)dr．
从而：
f（t）=e4πt2+2π

∫

2t 0

rf(

1

2

r)dr．
作变量代换：r=2u，
可得：
f（t）=e4πt2+

8π ∫

t 0

uf(u)du．
两边同时对t求导，可得：
f′（t）=8πte4πt2+8πtf（t），
即 f′（t）-8πtf（t）=8πte4πt2，
由一阶线性微分方程的求解公式得：
f（t）=e^∫8πtdt(∫8πte4πt2e∫?8πtdtdt+C)
=e4πt2（∫8πtdt+C）
=e4πt2（4πt²+C），
因为：f（0）=1，所以：C=1，
故：f（t）=（4πt²+1）e4πt2．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示