Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若在区间（0，e）上的最大值为-3，求a的值；（Ⅲ）当a=1时，判断方程|f（x）|=lnxx+12是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，
∴f′(x)＝?1+

1

x

＝

1?x

x

当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当x＞1时．f'（x）＜0，
∴x=1是f（x）在定义域（0，+∞）上唯一的极（大）值点，
则f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅱ）∵f′(x)＝a+

1

x

，
令f'（x）=0得x＝?

1

a

＞0，
①当?

1

a

≥e，即a≥?

1

e

时，f'（x）≥0，
从而f（x）在（0，e]上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0舍；
②当0＜?

1

a

＜e，即a＜?

1

e

时，
f（x）在(0，?

1

a

)上递增，在(?

1

a

，e)上递减，
∴f(x)max＝f(?

1

a

)＝?1+ln(?

1

a

)，
令?1+ln(?

1

a

)＝?3，得a=-e²．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当a=-1时，
f（x）_max=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1，
又令φ(x)＝

lnx

x

+

1

2

，
∴φ′(x)＝

1?lnx

x2

，
∴φ(x)≤φ(e)＝

1

e

+

1

2

＜1，
∴方程无解．