Question

（2014?东营二模）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边

（2014?东营二模）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（1）求证：DC⊥平面ABC；（2）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．

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Answer 1

解：（1）证明：在图甲中，∵AB=BD，且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABC=90° 即AB⊥BD．
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．又∠DCB=90°，
∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（2）∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD，
又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
∴VA?BFE＝VF?AEB＝

1

3

S△AEB?FE，在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得BD＝2a，BC＝

3

a，EF＝

1

2

CD＝

1

2

a，∴S△ABC＝

1

2

AB?BC＝

1

2

?2a?

3

a＝

3

a2，
∴S△AEB＝

3

2

a2，∴VA?BFE＝

1

3

?

3

2

a2?

1

2

a＝

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