Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、 C(1， 3 2 ) 三点

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、 C(1， 3 2 ) 三点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

Answer 1

解（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a＞b＞0）， 则a=2，又点 C(1， 3 2 ) 在椭圆E上，得 1 2 2 + 9 4 b 2 =1 ．解得b 2 =3． ∴椭圆E的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ． 当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为 x 2 b 2 + y 2 a 2 =1 （a＞b＞0）， 则b=2，又点 C(1， 3 2 ) 在椭圆E上，得 1 2 2 + 9 4 a 2 =1 ．解得a 2 =3，这与a＞b矛盾． C(1， 3 2 ) 综上可知，椭圆E的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ．                               …（4分） 解法二：设椭圆方程为mx 2 +ny 2 =1（m＞0，n＞0）， 将A（-2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得 4m=1 m+ 9 4 n=1. 解得 m= 1 4 ， n= 1 3 ． ∴椭圆E的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ．                                     …（4分） （Ⅱ）证法一：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程 x 2 4 + y 2 3 =1 并整理，得（3+4k 2 ）x 2 -8k 2 x+4（k 2 -3）=0，…（6分） 设直线l与椭圆E的交点M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ）， 由根与系数的关系，得 x 1 + x 2 = 8 k 2 3+4 k 2 ， x 1 x 2 = 4( k 2 -3) 3+4 k 2 ．              …（8分） 直线AM的方程为： y= y 1 x 1 +2 (x+2) ，它与直线x=4的交点坐标为 P(4， 6 y 1 x 1 +2 ) ，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为 Q(4， 2 y 2 x 2 -2 ) ．       …（10分） 下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：P ∵y 1 =k（x 1 -1），y 2 =k（x 2 -1）， ∴ 6 y 1 x 1 +2 - 2 y 2 x 2 -2 = 6k( x 1 -1)( x 2 -2)-2k( x 2 -1)( x 1 +2) ( x 1 +2)( x 2 -2) = 2k[2 x 1 x 2 -5( x 1 + x 2 )+8] ( x 1 +2)( x 2 -2) = 2k[ 8( k 2 -3) 3+4 k 2 - 40 k 2 3+4 k 2 +8] ( x 1 +2)( x 2 -2) =0 ． 因此结论成立． 综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                …（14分） 证法二：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆E的方程 x 2 4 + y 2 3 =1 并整理，得（3+4k 2 ）x 2 -8k 2 x+4（k 2 -3）=0，…（6分） 设直线l与椭圆E的交点M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ）， 由根与系数的关系，得 x 1 + x 2 = 8 k 2 3+4 k 2 ， x 1 x 2 = 4( k 2 -3) 3+4 k 2 ．              …（8分） 直线AM的方程为： y= y 1 x 1 +2 (x+2) ，即 y= k( x 1 -1) x 1 +2 (x+2) ． 直线BN的方程为： y= 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2015-02-10 已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，... 2015-02-07 已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(?2，... 2015-02-04 已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 A(-2... 2015-02-23 已知椭圆E的中心是坐标原点，焦点在坐标轴上，且椭圆过点A（-... 2011-03-27 已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2,... 28 2015-02-10 已知椭圆中心E在坐标原点，焦点在x轴上，且经过A（-2，0）... 2010-12-06 已知椭圆E的中心在坐标原点焦点在坐标轴上 过点A(-2,0)... 2015-02-04 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率 e= ... 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式