Question

已知等差数列{a n }的公差d＞0，其前n项和为S n ，若S 3 =12，且2a 1 ，a 2 ，1+a 3 成等比数列．（I）求

已知等差数列{a n }的公差d＞0，其前n项和为S n ，若S 3 =12，且2a 1 ，a 2 ，1+a 3 成等比数列．（I）求{a n }的通项公式；（II）记 b n = 1 a n a n+1 (n∈ N * ) ，求数列{b n }的前n项和T n ．

Answer 1

（I）由题得： 2 a 1 ( a 3 +1)= a 2 2 a 1 + a 2 + a 3 =12 即 a 1 ( a 1 +2d+1) =8 a 1 +d=4 ，得d 2 +d-12=0． ∵d＞0，∴d=3，a 1 =1． ∴{a n }的通项公式a n =1+3（n-1）=3n-2． （II）∵b n = 1 a n ? a n+1 = 1 (3n-2)(3n+1) = 1 3 （ 1 3n-2 - 1 3n+1 ）． ∴T n =b 1 +b 2 +b 3 +…+b n = 1 3 [（1- 1 4 ）+（ 1 4 - 1 7 ）+…+（ 1 3n-2 - 1 3n+1 ）] = 1 3 （1- 1 3n+1 ） = n 3n+1 ．