Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45 °，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90 °，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45 °，BE＝4，DE=10， 求直角梯形ABCD的面积。

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD中， ∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF， ∴CE＝CF； （2）如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF， ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD 即∠ECF＝∠BCD＝90°， 又∠GCE＝45°， ∴∠GCF＝∠GCE＝45°， ∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG， ∴GE＝GF ∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD； （3）如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G， 在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠A＝∠B＝90°， 又∠CGA＝90°，AB＝BC， ∴四边形ABCD 为正方形， ∴AG＝BC， 已知∠DCE＝45°， 根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG， 所以10=4+DG，即DG=6， 设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6 在Rt△AED中，   ∵ ，即 ， 解这个方程，得：x＝12，或x＝-2（舍去）， ∴AB＝12， 所以梯形ABCD的面积为S= 答：梯形ABCD的面积为108。

（图3）