Question

在等腰 Rt △ ABC 中，∠ C =90°， ，过点 C 作直线 l ∥ AB ， F 是 l 上的一点，且 AB ＝ AF ，则点

在等腰 Rt △ ABC 中，∠ C =90°， ，过点 C 作直线 l ∥ AB ， F 是 l 上的一点，且 AB ＝ AF ，则点 F 到直线 BC 的距离为 ．

Answer 1

当F、B在AC的同侧时。 　　分别过C、F作AB的垂线，垂足分别为D、E。再过F作FH⊥BC交BC于H。 　　∵△ABC是等腰直角三角形、且∠ACB＝90°，　∴AC＝BC＝1，　∴AB＝ 。 　　∵AC⊥BC、CD⊥AB，　∴AD＝BD，　∴CD＝AD＝AB/2＝ 、∠ABC＝45°。 ∵CF∥AB、CD⊥AB、FE⊥AB，　∴FE＝CD＝ ，又AF＝AB＝ ，　∴FE＝AF/2。 　　由FE＝AF/2、FE⊥AE，得：∠FAE＝30°，　∴AE＝√3FE＝ 。 　　∵CF∥DE、CD⊥DE、FE⊥DE，　∴CDEF是矩形， 　　∴CF＝DE＝AE－AD＝ － 。 ∵CF∥DB，　∴∠FCB＝∠ABC＝45°。 　　∵∠FCH＝45°、FH⊥CH，　∴FH＝CF/√2＝（ － ）/ ＝ 。 　　∴此时F到BC的距离为 。 、当F、B在AC的两侧时。 　　过A作AM⊥FC交FC于M，再过F作FN⊥BC交BC的延长线于N。 　　∵△ABC是等腰直角三角形、且∠ACB＝90°，　∴∠BAC＝45°。 　　∵FC∥AB，　∴∠ACM＝∠BAC＝45°，又AM⊥CM，　∴CM＝AM＝AC/ ＝1/ 。 　　∵AF＝AB＝ 、AM＝1/ ＝ 、AM⊥FM，　∴∠AFM＝30°， ∴FM＝ AM＝ ，　∴CF＝FM＋CM＝ ＋ 。 　　显然有：∠FCN＝180°－∠ACB－∠ACM＝180°－90°－45°＝45°，又FN⊥CN， 　　∴FN＝CF/ ＝（ ＋ ）/ ＝ 。 　　∴此时F到BC的距离为 。 综上所述，得：F到BC的距离是 ，或