Question

已知函数f（x）=x 2 +lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时

已知函数f（x）=x 2 +lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）= 2 3 x 3 + 1 2 x 2 的下方．

Answer 1

（1）∵f（x）=x 2 +lnx，∴f′（x）=2x+ 1 x ， ∵x＞1时，f′（x）＞0， ∴f（x）在[1，e]上是增函数， ∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e 2 ； （2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）= 1 2 x 2 - 2 3 x 3 +lnx， 则F′（x）=x-2x 2 + 1 x = x 2 -2 x 3 +1 x = x 2 - x 3 - x 3 +1 x = (1-x)(2 x 2 +x+1) x ， ∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数， ∴F（x）＜F（1）= 1 2 - 2 3 =- 1 6 ＜0，即f（x）＜g（x）， ∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．