Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E；⊙O是△BDE

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E；⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．

Answer 1

证明（1）连接OD，
∵DE⊥DB，
∴BE是⊙O的直径，
∵OD=OB，
∴∠2=∠3，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，∠1=∠3，
∴BC∥OD，
Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴OD⊥AC，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，Rt△ABC中，BC=9，CA=12
∴AB＝

BC2+CA2

＝15，
∵BC∥OD，
△ADO∽△ACB，
∴

AO

AB

＝

OD

BC

，

15?r

15

＝

r

9

，
解得r＝

45

8

．