Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=ax22，直线l：y=（k-3）x-k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数

已知f（x）=xlnx，g（x）=ax22，直线l：y=（k-3）x-k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．

Answer 1

（1）∵f′（x）=1+lnx，
∴f′（e）=1+lne=k-3
∴k=5，
（2）由于存在x₀∈[1，e]，使f（x₀）＜g（x₀），
则

1

2

ax₀²＞x₀lnx₀，
∴a＞

2lnx0

x0

设h（x）=

2lnx

x

则h′（x）=

2(1?lnx)

x2

，
当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）
∴h（x）在[1，e]上单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=0，因此a＞0．
（3）由题意xlnx＞（k-3）x-k+2在x＞1时恒成立
即k＜

xlnx+3x?2

x?1

，
设F（x）=

xlnx+3x?2

x?1

，
∴F′（x）=

x?lnx?2

(x?1)2

，
令m（x）=x-lnx-2，则m′（x）=1-

1

x

=

x?1

x

＞0在x＞1时恒成立
所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，
所以在（1，+∞）上存在唯一实数x₀（x₀∈（3，4））使m（x）=0
当1＜x＜x₀时m（x）＜0即F′（x）＜0，
当x＞＜x₀时m（x）＞0即F′（x）＞0，
所以F（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
F（x）_min=F（x₀）=

x0lnx0+3x0?2

x0?1

=

x0(x0?2)+3x0?2

x0?1

=x₀+2∈（5，6）
故k＜x₀+2又k∈Z，所以k的最大值为5