Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等．

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等．直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q．若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值．

Answer 1

（1）∵当x=0和x=4时，y的值相等，
∴c=16a+4b+c，（1分）
∴b=-4a，
∴x=-

b

2a

=-

?4a

2a

=2
将x=3代入y=4x-16，得y=-4，
将x=2代入y=4x-16，得y=-8．（2分）
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-8
将点（3，-4）代入，得-4=a（x-2）²-8，
解得a=4．
∴抛物线y=4（x-2）²-8，即y=4x²-16x+8．（3分）

（2）设直线OM的解析式为y=kx，将点M（2，-8）代入，得k=-4，
∴y=-4x．（4分）
则点P（t，-4t），PQ=4t，而OC=8，OQ=t．
S=S_△COQ+S_△OPQ=

1

2

×8×t+

1

2

×t×4t=2t²+4t（5分）
t的取值范围为：0＜t≤2（6分）

（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值．
从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，
即S不断变大，显然当点P运动到点M时，S值最大（7分）
此时t=2时，点Q在线段AB的中点上（8分）
因而S=

1

2

×2×8+

1

2

×2×8=16．
当t=2时，OC=MQ=8，OC∥MQ，
∴四边形PQCO是平行四边形．（9分）

（4）随着点P的运动，存在t=

8

17

17

，能满足PO=OC（10分）
设点P（t，-4t），PQ=4T，OQ=t．
由勾股定理，得OP²=（4t）²+t²=17t²．
∵PO=OC，
∴17t²=8²，t₁=

8

17

17

＜2，t₂=-

8

17

17

（不合题意）
∴当t=

8

17

17

时，PO=OC．（11分）