已知函数y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=x0,则称x0是函数y=f(x)的一个不动点,设二次函数f(x)=ax2
已知函数y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=x0,则称x0是函数y=f(x)的一个不动点,设二次函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(Ⅰ)当a=2,b=1时,...
已知函数y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=x0,则称x0是函数y=f(x)的一个不动点,设二次函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(Ⅰ)当a=2,b=1时,求函数f(x)的不动点;(Ⅱ)若对于任意实数b,函数f(x)恒有两个不同的不动点,求实数a的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若函数y=f(x)的图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且直线y=kx+1a2+1是线段AB的垂直平分线,求实数b的取值范围.
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(Ⅰ) 当a=2,b=1时,f(x)=2x2+2x-1,解2x2+2x-1=x,
解得x=?1,x=
,
所以函数f(x)的不动点为x=?1,x=
;
(Ⅱ)因为对于任意实数b,函数f(x)恒有两个不同的不动点,
所以对于任意实数b,方程f(x)=x恒有两个不相等的实数根,
即方程ax2+(b+1)x+b-2=x恒有两个不相等的实数根,
所以 △x=b2?4a(b?2)>0,即对于任意实数b,b2-4ab+8a>0,
所以 △b=(?4a)2?4×8a<0,
解得0<a<2;
(Ⅲ)设函数f(x)的两个不同的不动点为x1,x2,则A(x1,x1),B(x2,x2),
且x1,x2是ax2+bx+b-2=0的两个不等实根,所以x1+x2=?
,
直线AB的斜率为1,线段AB中点坐标为(?
,?
),
因为直线y=kx+
是线段AB的垂直平分线,
所以k=-1,且(-
,-
)在直线y=kx+
上,
则-
=
+
,a∈(0,2),
所以b=-
=?
≥?
=-
,
当且仅当a=1∈(0,2)时等号成立,
又b<0,
所以实数b的取值范围是[-
,0).
解得x=?1,x=
1 |
2 |
所以函数f(x)的不动点为x=?1,x=
1 |
2 |
(Ⅱ)因为对于任意实数b,函数f(x)恒有两个不同的不动点,
所以对于任意实数b,方程f(x)=x恒有两个不相等的实数根,
即方程ax2+(b+1)x+b-2=x恒有两个不相等的实数根,
所以 △x=b2?4a(b?2)>0,即对于任意实数b,b2-4ab+8a>0,
所以 △b=(?4a)2?4×8a<0,
解得0<a<2;
(Ⅲ)设函数f(x)的两个不同的不动点为x1,x2,则A(x1,x1),B(x2,x2),
且x1,x2是ax2+bx+b-2=0的两个不等实根,所以x1+x2=?
b |
a |
直线AB的斜率为1,线段AB中点坐标为(?
b |
2a |
b |
2a |
因为直线y=kx+
1 |
a2+1 |
所以k=-1,且(-
b |
2a |
b |
2a |
1 |
a2+1 |
则-
b |
2a |
b |
2a |
1 |
a2+1 |
所以b=-
a |
a2+1 |
1 | ||
a+
|
1 | ||||
2
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当且仅当a=1∈(0,2)时等号成立,
又b<0,
所以实数b的取值范围是[-
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