Question

如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，（1）求证：E、F、B、D四点共面；

如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，（1）求证：E、F、B、D四点共面；（2）求四边形EFDB的面积．

Answer 1

解答：（1）证明：如答图所示，连接B₁D₁，
在△C₁B₁D₁中，C₁E=EB₁，C₁F=FD₁，
∴EF∥B₁D₁，且EF=

1

2

B₁D₁，
又A₁A

∥

.

B₁B，A₁A

∥

.

D₁D，∴B₁B

∥

.

D₁D，
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形．
∴B₁D₁∥BD，EF∥BD，
∴E、F、D、B四点共面
（2）由AB=a，知BD=B₁D₁=

2

a，EF=

2

2

a，
DF=BE=

B B 2 1 +B1E2

=

a2+( a 2 )2

＝

5

2

a，
过F作FH⊥DB于H，则DH=

DB?EF

2

＝

2

4

a
∴FH=

DF2?DH2

＝

5 4 a2? 2 16 a2

＝

18 16 a2

＝

3 2

4

a
四边形的面积为SEFBD＝

1

2

(EF+BD)×FH＝

1

2

(

2

2

a+

2

a)×

3 2

4

a=

1

2

×

3 2

2

×

3 2

4

a2＝

9

8

a2