Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，DC=4，∠DAB=60°，侧面△PAD和△PAB均为边长为2的正

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，DC=4，∠DAB=60°，侧面△PAD和△PAB均为边长为2的正三角形，M为线段PC的中点．（Ⅰ）求证：PD⊥AB；（Ⅱ）求二面角P-BC-D的平面角的正切值；（Ⅲ）试问：在线段AB上是否存在点N，使得MN与平面PDB的交点恰好是△PDB的重心？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：取AB中点Q，连结DQ，PQ，
∵AD=BD，∴AB⊥DQ，
同理AB⊥PQ，∴AB⊥平面PDQ，
∴AB⊥PD．…（4分）
（2）解：过P作PO⊥平面ABD于O，
PE⊥CB交CB的延长线于E，连结OE，
连结AO并延长交BD于F，
则BC⊥OE，
∴∠PEO为二面角P-BC-D的平面角，…（6分）
OE=BF=1，AF=

3

，AO=

2 3

3

，PO=

2 6

3

，
tan∠POE=

2 6 3

1

=

2 6

3

．…（9分）
（3）解：取PD的中点K，连结BK，MK，
则KM平行且等于AB，四边形ABMK为平行四边形
取△PBD的重心G，连结MG并延长交BA于N，
则

KM

BN

＝

KG

GB

=

1

2

，
BN=2KM=4
∴点N在BA的延长线上，且AN=2，
∴不存在点N，使得MN与平面PDB的交点恰好是△PDB的重心．…（15分）