Question

已知f（x）=x2+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．（Ⅰ）若当x=-1时函数y=

已知f（x）=x2+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．（Ⅰ）若当x=-1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间（Ⅱ）若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）∵f（x）=x²+bx+c为偶函数，
故f（-x）=f（x）
即有（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c
解得b=0
又曲线y=f（x）过点（2，5），得2²+c=5，
有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a
从而g′（x）=3x²+2ax+1，
因x=-1时函数y=g（x）取得极值，
故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，
解得a=2
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令g′（x）=0，得x1＝?1，x2＝?

1

3

当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上为增函数
当x∈(?1，?

1

3

)时，g′（x）＜0，故g（x）在(?1，?

1

3

)上为减函数
当x∈(?

1

3

，+∞)时，g′（x）＞0，故g（x）在(?

1

3

，+∞)上为增函数
（Ⅱ）∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，
故有g′（x）=0有实数解．
即3x²+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a²-12≥0
解得a∈(?∞，?

3

]∪[

3

，+∞)
所以实数a的取值范围：a∈(?∞，?

3

]∪[

3

，+∞)