Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．

Answer 1

解答：（1）证明：
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．
∵E为CD的中点，
∴ED=EC．
∴△ADE≌△FCE（AAS）．
∴EF=EA．（5分）

（2）解：连接GA，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB=90°．
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD是矩形．
∴BG=AD，GA=BD．
∵BD=BC，
∴GA=BC．
由（1）得△ADE≌△FCE，
∴AD=FC．
∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．
∵由（1）得EF=EA，
∴EG⊥AF．（5分）