Question

在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．①

在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．①若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，则 AD BC =______（用含有α的式子表示）；②固定△AOB，将△COD绕点O旋转，PM最大值为______．

Answer 1

连接BM、CN， 由题意知BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α， ∵A、O、C三点在同一直线上， ∴B、O、D三点也在同一直线上， ∴∠BMC=∠CNB=90°， ∵P为BC中点， ∴在Rt△BMC中，PM= 1 2 BC，在Rt△BNC中，PN= 1 2 BC， ∴PM=PN， ∴B、C、N、M四点都在以点P为圆心， 1 2 BC为半径的圆上， ∴∠MPN=2∠MBN， 又∵∠MBN= 1 2 ∠ABO=α， ∴∠MPN=∠ABO， ∴△PMN ∽ △BAO， ∴ MN PM = AO BA ， 由题意知MN= 1 2 AD，PM= 1 2 BC， ∴ AD BC = MN PM ， ∴ AD BC = AO BA ， 在Rt△BMA中， AM AB =sinα， ∵AO=2AM， ∴ AO BA =2sinα， ∴ AD BC =2sinα； （2）当DC ∥ AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值． PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2= 5 2 ．