Question

定义在R上的函数f（x）满足 f(x+ 3 2 )+f(x)=0 ，且函数 y=f(x- 3 4 ) 为奇函数，给出

定义在R上的函数f（x）满足 f(x+ 3 2 )+f(x)=0 ，且函数 y=f(x- 3 4 ) 为奇函数，给出下列命题：①函数f（x）的最小正周期是 3 2 ；②函数y=f（x）的图象关于点 (- 3 4 ，0) 对称；③函数y=f（x）的图象关于y轴对称．其中真命题的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0

Answer 1

①：由题意可得f（x+3）=-f（x+ 3 2 ）=f（x）则函数f（x）是周期函数且其周期为3，故①错误 ②：由y=f（x- 3 4 ）是奇函数可得其图象关于原点（0，0）对称，由y=f（x- 3 4 ）向左平移 3 4 个单位长度可得y=f（x）的图象，则函数f（x）的图象关于点（- 3 4 ，0）对称，故②正确 ③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（- 3 4 -x）=-f（ - 3 4 + x），用 3 4 +x 代换x，可得：f（- 3 2 -x）+f（x）=0 ∴f（- 3 2 -x）=-f（x）=f（x+ 3 2 ）对于任意的x∈R都成立．令t= 3 2 +x，则f（-t）=f（t），则可得函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，故③正确 故选：B．