Question

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]．（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]．（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）=-12有两个不等实根，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）若a=1，则f（x）=x+lnx，f′(x)＝1+

1

x

=

x+1

x

，
∵x∈[1，e]，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f（x）_max=f（e）=e+1；
（Ⅱ）要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）_max≤0，
显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在[1，e]上单增，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；
当a＜0时，f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

，令f′（x）=0，x＝?

1

a

，
当x＜?

1

a

时，f′（x）＞0，当x＞?

1

a

时，f′（x）＜0，
①当?

1

a

≤1时，即a≤-1时，f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_max=f（1）=a＜0，∴a≤-1；
②当?

1

a

≥e时，即?

1

e

≤a＜0时，f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae+1≤0，a≤?

1

e

，∴a＝?

1

e

；
③当1＜?

1

a

＜e时，即?1＜a＜?

1

e

时，f（x）在[1，?

1

a

]上单增，f（x）在[?

1

a

，e]上单减，
∴f(x)max＝f(?

1

a

)＝?1+ln(?

1

a

)，
∵1＜?

1

a

＜e，∴0＜ln(?

1

a

)＜1，∴f(?

1

a

)＜0成立；
由①②③可得a≤?

1

e

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a≤-1或a≥-

1

e

时，f（x）在[1，e]上单调，不满足题意；
当-1＜a＜-

1

e

时，fmax(x)＝f(?

1

a

)=-1+ln（-

1

a

<