Question

求级数∞n＝1nxn-1的收敛域及和函数，并求级数∞n＝1n2n的和

求级数∞n＝1nxn-1的收敛域及和函数，并求级数∞n＝1n2n的和．





Answer 1

∵

lim

n→∞

|

an+1

an

|＝

lim

n→∞

n+1

n

＝1，得到收敛半径为R=1．
当x=1，级数成为

∞

n＝1

n，一般项不趋于0，因此它发散．
同理，当x=-1级数也发散．
所以收敛域为（-1，1）．
令和函数为s（x）=

∞

n＝1

nxn?1，两边由0到x积分，得

∫

x 0

s(x)dx=

∞

n＝1

 xn=

x

1?x

，
两边对x求导，即得s(x)＝

1

(1?x)2

，x∈(?1，1)．
取x＝

1

2

，则有

∞

n＝1

n(

1

2

)n?1＝

1

(1? 1 2 )2

＝4．
所以，

∞

n＝1

n(

1

2

)n＝

1

2

?4＝2．