Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB=______时，四边形PECF的面积最大，最大值为9393．

Answer 1

设PB=xcm，
∵∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，
∴BC=AB×cos30°=6

3

（cm），PE=

1

2

xcm，BE=

3

2

xcm，
则EC=（6

3

-

3

2

x）cm，
故四边形FCEP的面积为：
PE×EC=

1

2

x×（6

3

-

3

2

x）
=-

3

4

x²+3

3

x
=-

3

4

（x²-12x）
=-

3

4

（x-6）²+9

3

故当x=6时，四边形PECF的面积最大，最大值为9

3

．
故答案为：6，9

3

．