Question

如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，其中点A、B、C三点的坐标分别为（1，23），（-1，0），（3，0），点

如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，其中点A、B、C三点的坐标分别为（1，23），（-1，0），（3，0），点D为BC中点，P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合），连接PB、PD，则△PBD周长的最小值是27+227+2．

Answer 1

解答：解：∵B（-1，0），C（3，0），
∴BC=3-（-1）=4，
∵点D为BC中点，
∴点D的坐标为（1，0），
∴AD⊥BC，
∵tan∠ACD=

AD

CD

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ACD=60°，
作点D关于AC的对称点D′，连接BD′与AC相交于点P，
则点P即为△PBD周长的最小值时的点，
过点D′作D′E⊥x轴于E，则∠D′DC=90°-60°=30°，
DD′=2?CDcos∠D′DC=2×2×cos30°=2×2×

3

2

=2

3

，
D′E=DD′sin∠D′DC=2

3

×sin30°=2

3

×

1

2

=

3

，
DE=DD′cos∠D′DC=2

3

×cos30°=2

3

×

3

2

=3，
∴BE=2+3=5，
在Rt△BD′E中，BD′=

BE2+D′E2

=

52+( 3 )2

=2

7

，
∴△PBD周长的最小值是2

7

+2．
故答案为：2

7

+2．