Question

高中数学：数列问题，请详细写出步骤，谢谢

在数列{an}中，a1=2，a2=12，a3=54，数列{a(n+1)-3an}是等比数列．
（1）求证：数列{an / 3^(n−1)}是等差数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

(1)∵数列{a(n+1)-3an}是等比数列，且a2-3a1=12-3×2=6，a3-3a2=54-3×12=18
∴q=18/6=3
∴a(n+1)-3an=6×3^(n-1)=2×3^n
两边同除以3^n，得a(n+1)/3^n-an/3^(n-1)=2(常数)
∴数列{an/3^(n-1)}是首项为a1/3^0=2，公差为2的等差数列。
(2)由(1)知an/3^(n-1)=2+2(n-1)=2n
∴an=2n×3^(n-1)
Sn=2[1×3^0+2×3^1+3×3^2+...+(n-1)×3^(n-2)+n×3^(n-1)]①
3Sn=2[1×3^1+2×3^2+3×3^3+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3^n]②
①-②得，-2Sn=2[3^0+3^1+3^2+...+3^(n-1)-n×3^n]=2[(1-3^n)/(1-3)-n×3^n]
∴Sn=(1-3^n)/2+n×3^n=1/2+(n-1/2)×3^n。

Answer 2

a1=2，a2=12，a3=54，

a(n+1)-3an=(a2-3a1)q(n-1)

a3-3a2=(a2-3a1)q
q=(54-3*12)/(12-3*2)=3

a(n+1)-3an=6*3^(n-1)
a(n+1)-3an=2*3^n
方程两边同除以3^n得
a(n+1)/3^n-an/3^(n-1)=2
{an/3^(n-1)}成等差数列,公差=2
2)an/3^(n-1)=a1+2n-1=2+2n-2=2n
an=2n*3^(n-1)
Sn=2*1+4*3+6*3^2+8*3^3+...+2(n-1)*3^(n-2)+2n*3^(n-1)
3Sn= 2*3+4*3^2+6*3^3+....+2(n-2)*3^(n-2)+2n*3^n
错位相减得:
-2Sn=2[1+3+3^2+*3^3+..+3^(n-1)]-2n*3^n=2*[-1/2*(1-3^n)]-2n*3^n=-(2n-1)*3^n-1
Sn=1/2{[(2n-1)*3^n]-1}